Эффективный метод решения тройных интегральных уравнений

А.Н. Буряков, А.В. Розанов, Н.А. Цолан

Кафедра Информационных технологий и прикладной математики
ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ» им. Н.И. Вавилова

Рассмотрим динамическую контактную задачу об установившихся колебаниях штампа с плоским кольцевым основанием, расположенного на упругом слое конечной толщины h. Внутренний радиус штампа а, внешний в. Упругий слой лежит на жестком основании без трения. На штамп, высота которого мала по сравнению с внешним радиусом, действует горизонтальная возмущающая сила T·e^iωt. Поверхность упругого слоя вне штампа свободна от усилий.

Воспользуемся цилиндрической системой координат (r,  z, j), ось z, которой совпадает с осью симметрии штампа и перпендикулярна к границе упругого слоя. В рассматриваемой задаче компоненты вектора перемещения и тензора напряжений на площадке контакта могут быть представлены в виде

                                   (1)

                                     (2)

Граничные условия для рассматриваемой динамической контактной  задачи имеют вид при  z = 0 и при  z = h.

                                                              (3)

                                          (4)

                                                              (5)

                                                              (6)

                                                             (7)

                                                            (8)

где d - комплексная амплитуда горизонтальных колебаний штампа, - нормальное напряжение на границе слоя. Пользуясь частными решениями уравнения движения упругой изотропной среды, удовлетворяя граничным условиям (6) - (8) и используя теорию интегральных преобразований Ханкеля, получим:

                                  (9)

В формуле (9) приняты следующие обозначения:

  (10)

                     (11)

где   - упругие постоянные Ламе, - плотность материала слоя, - функция Бесселя первого рода.

Интеграл в формуле (9) рассматривается как контурный с обходом особых точек по дугам малых окружностей, расположенным выше действительной оси . Величины  являются вещественными корнями уравнения D= 0.

Удовлетворяя оставшимся граничным условиям (3) - (5), приходим к тройным интегральным уравнениям:

                                                     (12)

                       (13)

                                                    (14)

В формулах (12) - (14) использованы обозначения:

                           (15)

                             (16)

(17)

Путь интегрирования в (12) и (14) совпадает с положительной частью оси . Контур интегрирования в (13) проходит на бесконечно малом расстоянии выше действительной оси . Особенности в точках , обходятся по дугам малых окружностей, расположенных выше особенностей. Величины есть действительные корни уравнения .

Для решения тройных интегральных уравнений (12) - (14) применим метод, предложенный в работе J.G. Cooke [1], позволяющий свести эти уравнения к одному интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

                                    (18)

Ядро интегрального уравнения (18) имеет следующий вид:

                                                                            (19)

                                                      (20)

                                            (21)

                                            (22)

          (23)

                              (24)

Контур интегрирования в формуле (20) совпадает с контуром интегрирования в формуле (13).

Для решения интегрального уравнения (18) применим приближенный способ, основанный на замене данного интегрального уравнения конечной системой линейных алгебраических уравнений.

Определив функцию h(х) из уравнения (18), найдем динамические касательные напряжения на площадке контакта по формулам:

     (25)

Параметры реактивной реакции упругого слоя  g₀  и  d  определяются из уравнения:

                                                                             (26)

Пользуясь формулами (25) – (26) и уравнениями горизонтальных колебаний штампа, находим связь между амплитудой колебаний штампа d₀  и амплитудным значением возмущающей силы T, а также угол сдвига фаз q  между перемещением штампа и возмущающей силой:

                    (27)

Если вместо комплексных амплитуд компонент вектора перемещений и тензора напряжений рассматривать их характеристические функции, т. е. воспользоваться не преобразованием Фурье, а более общим преобразованием Фурье-Стилтьеса [2], то предложенная в настоящей работе методика расчета может быть применена для расчета колебаний штампа под воздействием произвольной, в том числе случайной, вынуждающей силы.

Литература

1.     А.Н. Буряков, Т.В. Кириллова, А.В. Розанов. Решение контактной задачи о горизонтальных колебаниях кольцевого штампа на упругом слое. Материалi X Мiжнародна нау­кова конференцiя iменi академiка М. Крав­чука, Киiв, Изд-во «Задруга», 2004, с.53

2.     J.G. Cooke. The solution of triple integral equations in operation form. The Quart. Journ. of Mech. and Appl. Mathemat., v. XVIII, p.1.

3.     Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1997, т. 2, 386 с.