УДК 537.533.3

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

А.В. Розанов

Кафедра Информационных технологий и прикладной математики
ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ» им. Н.И. Вавилова

Характеристические функции - это эффективный инструмент решения ряда сложных задач в области статистической механики, теории вероятностей,  прикладной статистики, теории принятия управленческих решений и многих других [1-5].

По определению характеристической функцией называют преобразование Фурье-Стилтьеса некоторой вероятностной меры:

где x - вещественный параметр, F(x) - распределение вероятности некоторого случайного процесса. Преобразование Фурье-Стилтьеса отличается от обычного интегрального преобразования Фурье тем, что в преобразовании Фурье используется интеграл Римана, который представляет собой частный случай интеграла Стилтьеса. Действительно, интеграл Стилтьеса:

реализует идею интегрирования одной функции f(x) относительно другой функции g(x). Функция f(x) называется интегрируемой по функции g(x), а функция g(x) называется интегрирующей функцией. Интеграл Римана является частным случаем интеграла Стилтьеса, когда в качестве интегрирующей функции выбрана простейшая функция  g(x) = x + Const. Применение более общего интегрального преобразования значительно расширяет возможности анализа вероятностных и спектральных характеристик случайных процессов.

Одним из конструктивных свойств характеристической функции является значительное упрощение процедуры вычисления моментов функции распределения, так как оно сводится к дифференцированию, тогда как вычисление моментов на основе функции распределения требует выполнения операции интегрирования. Это дает возможность анализировать более широкий класс функций распределения, поскольку с точки зрения функционального анализа класс дифференцируемых функций намного шире класса интегрируемых функций. Кроме этого, при сложении независимых случайных величин, когда распределение их суммы определяется по формуле свертки, т.е. композиции или символического перемножения функций распределения, характеристическая функция суммы получается простым перемножением характеристических функций слагаемых. Это свойство особенно важно для центральной предельной теоремы теории вероятностей и её приложений.

Преимущества метода характеристической функции можно наглядно проиллюстрировать на примере решения системы уравнений Власова А.А., разработанной для анализа и расчёта стохастических процессов в многоскоростных электронных потоках [ 4 ]. С принципиальной точки зрения решение проблемы анализа процессов преобразования случайных (шумовых) возмущений в существенно многоскоростных потоках сводится к двум следующим задачам. Во-первых, необходимо определить дисперсию волн пространственного заряда в условиях разброса скоростей электронов и, во-вторых, найти характер изменения вдоль потока спектральной интенсивности этих волн.

Введем одночастичную функцию распределения электронов по скоростям , где  ,   - вещественные векторы,  - тройка взаимно-ортого­нальных единичных векторов и определим для неё характеристическую функцию , как функцию действительных переменных :

,                                     (1)

где  - вещественный вектор.

В соответствии с леммой Римана-Лебега, если преобразование (1) существует , то  ® 0  при .  Далее, если  разлагается в ряд Тейлора в некотором интервале вблизи , то в этом интервале она однозначно определяется центрированными моментами функции распределения :

,                (2)

причем тройной центрированный смешанный момент равен:

                                      (3)

Уравнение Власова А.А. в приближении самосогласованного поля имеет вид [ 4 ]:

                                (4)

где  - операторы Гамильтона в пространстве координат и скоростей,  - векторы электрического и магнитного полей, h = e/m – удельный заряд электрона, символ ´ обозначает векторное произведение.

Применив преобразование (1) к уравнению (3), получим:

                       (5)

Переход от функции распределения к характеристической функции позволяет значительно упростить и ускорить вычисление моментных функций, определяющих макроскопические параметры системы. В самом деле, из (1) и (3) следует, что  - это локальная плотность частиц, а   - плотность заряда. Нетрудно убедиться, что первая моментная функция, равна плотности тока частиц: . И, наконец, следующая моментная функция определяет поток кинетической мощности

.                                           (6)

Таким образом, нахождение физически наблюдаемых макроскопических параметров сводится к дифференцированию характеристической функции с последующим приравниванием нулю независимой пременной ξ.

Кроме этого, с помощью метода характеристической функции трансцендентное дисперсионное уравнение для волн пространственного заряда сводится к алгебраическому уравнению, степень которого, а, следовательно, и точность решения, определяется числом учитываемых членов в разложении характеристической функции в ряд Тейлора.

Список литературных источников

1.     Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1987, т. 2, 386 с.

2.     А.Н. Буряков, А.В. Розанов, Н.А. Цолан. Динамическая контактная задача об установившихся колебаниях кругового штампа на упругом изотропном полупространстве. Материалi XI Мiжнародна нау­кова конференцiя iменi академiка М. Кравчука, Киiв, Изд-во НТУУ "КПI", 2006, с.44

3.     А.В. Розанов, А.Н. Буряков. Горизонтальные колебания кольцевого штампа на упругом слое. Сборник научных работ. Саратов. Изд - во ФГОУ ВПО "Саратовский ГАУ", 2004 с. 62-66.

4.     А.В. Розанов. Метод характеристической функции в теории шумов в многоскоростных электронных потоках. "Вопросы прикладной физики", Межвузовский научный сборник, Вып. 10, Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 2004, с. 18 – 21.

5.     Мушик Эдвин, Мюллер Пауль. Методы принятия технических решений: пер. с нем. М.: Мир, 1990, 208 с.